対数関数のグラフ

イントロ

指数関数の座標を入れ替える

対数関数は指数関数の入力と出力を逆にした関係です。指数関数の点(x,y)を(y,x)へ移すと、直線y=xについて対称なグラフが得られます。

定義

教科書では: a>0、a≠1のとき、y=log_a xで表される関数です。
言いかえると: 真数xは正なので定義域はx>0です。log_a 1=0から必ず(1,0)を通り、y軸へ近づいても交わりません。底が1より大きければ増加、0と1の間なら減少します。

公式

同値な二つの式

y=log_a x ⇔ x=a^y

対数関数の点(x,y)は、指数関数y=aのx乗の点の座標を入れ替えたもの。

使うときのコツ

対応する二つのグラフは直線y=xについて対称

解くコツ

(1,0)、(a,1)、(1/a,−1)を置き、底に応じた増減で結びます。

手順

要点

指数関数の定義域は全実数、値域は正の実数です。入力と出力を逆にすると、対数関数の定義域は正の実数、値域は全実数になります。この入れ替わりがグラフの向きにも表れます。対応する点(a,1)と(1,a)も入れ替わるため、直線y=xについての対称性を座標で検算できます。

例

場面: y=log₂ xの主要点を指数表示から求める。
順に考えると: 2の0乗=1から(1,0)、2の1乗=2から(2,1)、2の2乗=4から(4,2)、2の−1乗=1/2から(1/2,−1)です。底2は1より大きいため、これらを右上がりに結びます。
ここが結論: 定義域x>0で増加し、(1,0)を通ってy軸へ近づくグラフになります。

注意

確認

Q1

y=log₃ xのグラフについて正しいものはどれですか。

まとめ

真数条件を最初に置き、対数の性質と単調性を用いて方程式・不等式を解き、最後に解を条件へ戻します。

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