イントロ
対数方程式・不等式
条件を先に、解を最後に戻す
対数を含む式では、計算できる範囲が最初から限られます。真数条件を書き、対数を外して計算し、得た値を条件へ戻す三段階が必要です。
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定義
真数条件
- 教科書では
- 実数の対数が定義されるために、各対数の真数が正でなければならない条件です。
- 言いかえると
- 対数法則で式をまとめると条件が見えにくくなるため、変形前にすべて書きます。方程式から得た値が真数を0以下にするなら、その値は元の式で意味をもたず不適解です。
公式
同じ底での比較
方程式
loga M=loga N ⇒ M=N (M>0,N>0)
同じ底の対数関数は一対一なので、定義域内で真数を等しくできる。
- M,N正である真数
- a正で1ではない共通の底
不等式
a>1: loga M<loga N⇔M<N; 0<a<1: ⇔M>N
底が1より大きければ向きを保ち、0と1の間なら向きを逆にする。
- a単調性を決める底
解くコツ
真数条件、対数の整理、代数計算、条件で検算の順を固定します。
手順
解く手順
- 1
すべての真数について正の条件を書く
- 2
必要なら対数法則で一つの対数へまとめる
- 3
同じ底の性質または指数表示で対数を外す
- 4
残った方程式・不等式を解く
- 5
得た値と範囲を真数条件へ戻して共通部分を取る
要点
不等式は二つの条件を重ねる
対数不等式では、対数関数の単調性から得た範囲だけでなく、真数が正となる範囲も必要です。二つを数直線に書き、共通する部分を最終解にします。底が0と1の間なら単調減少なので、不等号を外すときに向きを反転した根拠も明記します。
- 1
底が1より大きいか小さいか確認する
- 2
真数条件を変形後も消さない
- 3
最終解はすべての条件の共通部分
例
- 場面
- log2(x−1)=3を解く。
- 順に考えると
- まず真数条件x−1>0、つまりx>1です。指数表示へ戻すとx−1=2³=8なのでx=9です。9はx>1を満たし、元の式へ入れるとlog2 8=3となるため採用できます。
- ここが結論
- 解はx=9。条件を先に書き、最後に元の式で確認します。
注意
計算で出た値を自動的に採用しない
確認
確認テスト
Q1
log3(x+2)=2を解くとき、最初に置く真数条件はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
最初にすべての真数条件を書く
- 2
同じ底へ整理して対数を外す
- 3
不等式では底による単調性を確認する
- 4
得た解を真数条件と元の式へ戻す