イントロ
指数関数のグラフ
底で向き、三つの点で形を読む
指数関数はどの底でも(0,1)を通り、値は常に正です。底が1より大きいか小さいかで、左から右へ増えるか減るかが決まります。
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定義
指数関数のグラフ
- 教科書では
- y=aのx乗の値を座標平面に表した、x軸へ近づきながら増加または減少する曲線です。
- 言いかえると
- x=0ではaの0乗=1なので必ず(0,1)を通ります。x=1では(1,a)、x=−1では(−1,1/a)です。この三点と、yが0より大きいことを使うと概形を描けます。
公式
底による二つの場合
増加
y=ax, a>1
xが増えると値も増え、xが負の方向へ進むと0へ近づく。
- a1より大きい底
減少
y=ax, 0<a<1
xが増えると値は減り、正のまま0へ近づく。
- a0と1の間の底
使うときのコツ
aと1/aのグラフはy軸について対称
解くコツ
底の範囲、(0,1)、(1,a)、x軸へ近づく側の順に読みます。
手順
概形を描く手順
- 1
底が1より大きいか0と1の間かを確認する
- 2
共通点(0,1)を打つ
- 3
(1,a)と(−1,1/a)を打つ
- 4
増加または減少する滑らかな曲線で結ぶ
- 5
x軸を横切らず近づくことを確認する
要点
式とグラフを往復する
底aと逆数1/aは、同じxに対して左右を入れ替えた値を取ります。実際、(1/a)のx乗はaの−x乗です。そのため二本のグラフはy軸について対称になります。x=−1、0、1の三点を表にしてから滑らかに結ぶと、増減と対称性を同時に確かめられます。
- 1
定義域はすべての実数
- 2
値域は正の実数
- 3
底aと1/aは増減が逆
- 4
どちらもy切片は1
例
- 場面
- y=2のx乗をx=−2,−1,0,1,2で調べ、概形を描く。
- 順に考えると
- 値は1/4,1/2,1,2,4です。xが1増えるたびに2倍になり、(0,1)を通って右上へ増加します。負のx側では値が正のまま小さくなり、x軸へ近づきます。
- ここが結論
- 底2は1より大きいので増加関数。グラフはx軸と交わりません。
注意
x軸上に点を置かない
確認
確認テスト
Q1
y=(1/3)のx乗のグラフについて正しい説明はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
すべての基本指数関数は(0,1)を通る
- 2
a>1なら増加、0<a<1なら減少
- 3
定義域は全実数、値域はy>0
- 4
x軸は交わらない漸近線