指数関数と増加・減少

イントロ

差ではなく倍率が一定

毎回同じ量を足す変化ではなく、前の値に同じ倍率を掛け続ける変化を指数関数で表します。増える速さそのものが大きくなる点が一次関数との違いです。

定義

教科書では: a>0、a≠1のとき、y=aのx乗で表される関数です。
言いかえると: xが1増えるたびにyはa倍になります。aが1より大きければ増加し、0より大きく1より小さければ減少します。表で見分けるときは隣り合う値の差ではなく、後の値を前の値で割った比を調べます。

公式

xが1増えたときの倍率が底aです。

基本形

y=a^x (a>0, a≠1)

入力xが1増えるごとに、出力yがa倍になる関係を表す。

使うときのコツ

初期量がKならy=Kaˣと置く

解くコツ

表では隣り合う値の比を取り、一定なら指数関数の候補と考えます。

手順

要点

底aが1より大きいと、xが増えるたびに1より大きい倍率を掛けるので値は増えます。0<a<1なら毎回一部分だけが残るので値は減ります。ただし、どちらも正の値を保ちます。

例

場面: ある量が80から始まり、1時間ごとに75%へ減るとき、3時間後までの表を作る。
順に考えると: 倍率は0.75なので、時刻tの量は80×0.75のt乗と表せます。t=0,1,2,3で80,60,45,33.75です。差は−20,−15,−11.25と一定ではありませんが、比はすべて0.75です。
ここが結論: 減る量は毎回小さくなりますが、残る割合0.75が一定なので指数関数です。

注意

確認

Q1

xが0,1,2,3のとき、yが5,10,20,40となる表の説明として正しいものはどれですか。

まとめ

底の範囲から指数関数の増減を判断し、基準点と漸近線を置いて二種類のグラフを正確に描き分けます。

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