イントロ
有理数指数の指数法則
演算を見て指数の操作を選ぶ
指数が分数や負の数になっても、同じ底の積・商・累乗には整数指数と同じ規則が使えます。大切なのは、底と演算を確認してから指数を動かすことです。
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定義
有理数指数の指数法則
- 教科書では
- 正の底について、指数が有理数でも積では加法、商では減法、累乗では乗法を用いる規則です。
- 言いかえると
- 同じ底の累乗は、何回分の掛け算かを指数で数えています。積では回数を合わせ、商では取り除き、累乗の累乗では同じ操作を繰り返すため、指数の計算がそれぞれ加える・引く・掛けるになります。
公式
三つの指数法則
底aは正、pとqは有理数とします。
積と商
ap aq=ap+q, apaq=ap-q
同じ底の積では指数を加え、商では分子の指数から分母の指数を引く。
- a共通する正の底
- p,q有理数の指数
累乗の累乗
(ap)q=apq
累乗をさらに累乗するときは指数を掛ける。
- pqpとqの積
使うときのコツ
外側の指数を内側の指数へ掛ける
解くコツ
式を見て、まず同じ底か、次に積・商・累乗のどれかを判定します。
手順
指数法則を選ぶ手順
- 1
各項の底が同じか確認する
- 2
式全体の演算が積・商・累乗のどれかを決める
- 3
指数を加える・引く・掛けるの対応を選ぶ
- 4
分数指数は通分して計算する
- 5
負の指数が残れば正の指数の逆数へ直して確認する
要点
負の指数は逆数
aの−r乗は、aのr乗に負号を付けるのではなく、その逆数です。たとえば2の−3乗は−8ではなく1/8です。値の符号ではなく、掛け算の向きを逆にする記号だと捉えます。
- 1
aの−r乗は1/aのr乗
- 2
正の底なら指数が負でも値は正
- 3
0の負の指数は扱えない
例
- 場面
- 8の3分の2乗と8の−3分の1乗の積を求める。
- 順に考えると
- 底がどちらも8で積なので、指数を加えます。2/3+(−1/3)=1/3となり、式は8の1/3乗です。これは∛8=2です。根号へ直して個別に計算するより、指数を先にまとめると短く確認できます。
- ここが結論
- 答えは2。積では指数を加え、最後に累乗根へ戻します。
注意
累乗の累乗で指数を足さない
確認
確認テスト
Q1
(aの2分の1乗)の3乗を一つの累乗で表すとどれですか。a>0とします。
まとめ
まとめ
- 1
指数法則を使う前に底が同じか確認する
- 2
積は指数を加え、商は引き、累乗の累乗は掛ける
- 3
負の指数は正の累乗の逆数
- 4
分数指数でも整数指数と同じ規則を保つ
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