累乗根と有理数指数

イントロ

根号を指数の言葉で読み直す

平方根や立方根は、指数を整数だけでなく分数まで広げると一つの規則で表せます。根の次数と累乗の順を整理すると、根号を含む計算が見通しよくなります。

定義

教科書では: n乗してaになる数をaのn乗根といい、正のaについて正の値をⁿ√aで表します。
言いかえると: 指数法則を分数にも保つため、aの1/n乗をⁿ√aと定めます。aのm/n乗は、先にn乗根を取り、その結果をm乗した値です。正の底を扱えば、どちらの順で計算しても同じ値になります。

公式

分母は根の次数、分子は累乗の回数です。

有理数指数

a⁽mn)=(ⁿ√a)^m=ⁿ√a^m

a>0、nは正の整数として、根を取る操作と累乗を一つの指数で表す。

使うときのコツ

数値例では先に根を取ると計算が小さくなることが多い

解くコツ

指数の分数を見たら、分母を根号の左上、分子を外側の累乗へ移して読みます。

手順

要点

⁴√16は正の主値2を表します。一方、x⁴=16という方程式の実数解は2と−2です。根号という記号が表す値と、方程式を満たす未知数の候補は同じ問いではありません。

例

場面: 27の3分の2乗を計算する。
順に考えると: 指数の分母3は立方根、分子2は二乗を表します。まず∛27=3を求め、次に3²=9とします。先に27²を計算してから立方根を取っても同じですが、数が大きくなるので先に根を取る方が安全です。
ここが結論: 27の3分の2乗は9。計算順を選んでも指数法則により値は変わりません。

注意

確認

Q1

16の4分の3乗を計算する手順として正しいものはどれですか。

まとめ

有理数指数でも成り立つ積・商・累乗の指数法則を、同じ底と演算の種類を見分けて正確に使います。

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