イントロ
三角関数の加法定理
知らない角を知っている角へ分ける
75°のように基本角でない値も、45°+30°へ分けると計算できます。ただしsinやcosは角ごとに単純分配せず、二つの積の和・差になります。
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定義
加法定理
- 教科書では
- 二つの角の和または差の三角関数を、それぞれの角の三角関数の積で表す公式です。
- 言いかえると
- 回転を二段階に分けたときの座標変化を表します。sinでは外側の符号を保ち、cosでは和のとき中が引き算、差のとき中が足し算になるため、項の対応を図で確認します。
公式
sinとcosの加法定理
正弦
sin(α±β)=sin α cos β±cos α sin β
sin側は二つの交差積を、角の外側と同じ符号で結ぶ。
- α,β分けて扱う二つの角
- ±和なら＋、差なら−を対応させる
余弦
cos(α±β)=cos α cos β∓sin α sin β
cos側は同種の積を結び、角の符号と逆の符号を中央に置く。
- ∓和なら−、差なら＋
使うときのコツ
cosは中央の符号が角の符号と逆
解くコツ
公式を先に書き、αとβを決め、基本値を代入してから整理します。
公式
tanの加法定理と成立条件
正接
tan(α±β)=(tan α±tan β)(1∓tan α tan β)
tan αとtan βが定義され、分母1∓tan α tan βが0でないときに使う。
- 1∓tan α tan β和なら1−tan α tan β、差なら1＋tan α tan β
使うときのコツ
分母が0になる角では左辺のtanも定義されない
解くコツ
αとβのtanが定義されるかを確認し、分母を計算して0でないと確かめてから値を代入します。
手順
加法定理を使う手順
- 1
求めたい角を基本角の和または差へ分ける
- 2
使うsin、cos、tanの公式を文字のまま書き、tanなら定義条件も確認する
- 3
αとβへ角を対応させる
- 4
各基本値と象限の符号を代入する
- 5
根号と分母を整理して値を確認する
要点
単純な分配ではない
sin(α+β)はsinα+sinβではありません。たとえばα=β=0なら偶然一致しますが、一般には単位円上の座標を回転させるためcosとの積が必要です。数値例だけで法則を作らないようにします。
- 1
sinは交差する二つの積
- 2
cosは同じ種類どうしの二つの積
- 3
cosの中央符号は角の符号と逆
- 4
tanは各値の定義と分母が0でないことを確認する
- 5
既知角へ分けられる形を探す
例
- 場面
- sin75°を45°+30°として求める。
- 順に考えると
- sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°です。基本値を入れると(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4です。
- ここが結論
- sin75°=(√6+√2)/4。加法定理では二つの積を作ってから足します。
注意
cosの中央符号に注意
確認
確認テスト
Q1
cos(α−β)の正しい展開はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
加法定理は角の和・差を二つの積で表す
- 2
sinは交差積、cosは同種積
- 3
cosの中央符号は角の符号と逆
- 4
tanの式は各tanと分母の定義条件を確認する
- 5
公式、角の対応、代入、整理の順で計算する
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