イントロ
2倍角の公式
加法定理へ同じ角を二回入れる
2θは特別な新公式ではなくθ+θです。加法定理のαとβをどちらもθにすると、sin2θとcos2θを一つの角の値で表せます。
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定義
2倍角の公式
- 教科書では
- 角2θの三角関数を、角θのsin、cos、tanで表す公式です。
- 言いかえると
- 加法定理から直接導けるため、式を忘れても作り直せます。cos2θはsin²θ+cos²θ=1を使って三つの形に変えられ、分かっている値に合わせて選びます。
公式
2倍角の公式
sinとcos
sin 2θ=2sin θ cos θ; cos 2θ=cos2 θ-sin2 θ
加法定理にα=β=θを代入して得られる基本形。
- θ元になる一つの角
cosの別形
cos 2θ=2cos2 θ-1=1-2sin2 θ
平方和が1であることを使い、cosだけまたはsinだけで表す。
- sin θsinだけ既知のとき使う
- cos θcosだけ既知のとき使う
使うときのコツ
既知の値が一種類なら、その値だけの形を選ぶ
解くコツ
何が分かっているかを確認し、sinとcosの両方・cosだけ・sinだけの三場合から式を選びます。
公式
tanの2倍角と成立条件
正接
tan 2θ=2tan θ(1-tan2 θ)
tan θが定義され、分母1−tan²θが0でないときに使う。
- 1−tan²θ0でないことを先に確認する分母
使うときのコツ
分母が0になる角ではtan 2θも定義されない
解くコツ
tan θの定義を確認し、1−tan²θを先に計算して0でないと確かめてから代入します。
手順
使う公式を選ぶ手順
- 1
2θをθ+θと見る
- 2
加法定理へ同じ角を代入する
- 3
同じ二項をまとめて係数2を作る
- 4
既知の値がsin、cos、tanのどれかを確認する
- 5
対応する形を選び、tanなら分母が0でないことを確かめて代入する
要点
値を2倍する公式ではない
sin2θは2sinθではありません。角を2倍すると単位円上の終点が変わるため、cosθも掛ける必要があります。簡単な角θ=π/6で両辺を比べると誤りを見抜けます。
- 1
sin2θ=2sinθcosθ
- 2
cos2θには三つの等しい形がある
- 3
tan2θでは1−tan²θ≠0を確認する
- 4
既知情報が少ない形を選ぶ
- 5
加法定理から再導出できる
例
- 場面
- sinθ=3/5、cosθ=4/5のときsin2θを求める。
- 順に考えると
- sin2θ=2sinθcosθへ代入すると、2×3/5×4/5=24/25です。値は1以下であり、θが第1象限なら2θの位置によって正負が変わり得ますが、今回は式の積から正と分かります。
- ここが結論
- sin2θ=24/25。角を2倍する代わりに二つの値の積を使います。
注意
角と値を一緒に2倍しない
確認
確認テスト
Q1
sinθだけが分かっているとき、cos2θを求めるのに最も直接使える式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
2倍角は加法定理でθ+θとして導く
- 2
sin2θは2sinθcosθ
- 3
cos2θは既知の値に合わせて三つの形から選ぶ
- 4
tan2θの式はtanθと分母の定義条件を確認する
- 5
角を2倍しても関数値を単純に2倍しない