イントロ
三角関数の合成
二つの係数を振幅と位相へまとめる
同じ角xをもつsinとcosの和は、形が異なる二つの波ではなく、位相がずれた一つの正弦波として表せます。係数a,bを直角三角形の辺として読みます。
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定義
三角関数の合成
- 教科書では
- a sin x+b cos xをR sin(x+φ)など一つの三角関数へ書き換えることです。
- 言いかえると
- 加法定理でR sin(x+φ)を展開すると、係数はRcosφとRsinφになります。したがってa,bを二辺とする直角三角形の斜辺Rが合成後の振幅になります。
公式
合成の係数対応
正弦への合成
a sin x+b cos x=R sin(x+φ)
Rcosφ=a、Rsinφ=bとなるRとφを選ぶ。
- a,b元のsin項とcos項の係数
- R合成後の振幅√a²+b²
- φ係数の符号も満たす位相
使うときのコツ
sinの係数がRcosφ、cosの係数がRsinφ
解くコツ
最初にRを三平方で求め、次にcosφ=a/R、sinφ=b/Rから象限を含めてφを決めます。
手順
合成する手順
- 1
sin xの係数aとcos xの係数bを読む
- 2
R=√a²+b²を求める
- 3
cosφ=a/R、sinφ=b/Rを置く
- 4
a,bの符号からφの象限を決める
- 5
R sin(x+φ)を展開して係数を検算する
要点
最大・最小もすぐ読める
合成後のsinの値域は−1以上1以下なので、R sin(x+φ)の値域は−R以上R以下です。複雑に見える和でも、合成すると振幅が最大絶対値だと分かります。φの象限はcosφ=a/Rとsinφ=b/Rの両方の符号で決め、一方の値だけで判断しません。
- 1
振幅は係数の和ではなく√a²+b²
- 2
位相は係数の符号まで満たす
- 3
合成後の値域は[-R,R]
- 4
展開して元の係数へ戻るか検算する
例
- 場面
- sin x+√3 cos xを一つの正弦関数へ合成する。
- 順に考えると
- a=1、b=√3なのでR=√1+3=2です。cosφ=1/2、sinφ=√3/2を満たすφはπ/3です。したがって2sin(x+π/3)です。
- ここが結論
- sin x+√3cos x=2sin(x+π/3)。最大値2、最小値−2も読めます。
注意
係数a,bの対応を逆にしない
確認
確認テスト
Q1
3sin x+4cos xを合成したときの振幅Rはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
同じ角のsinとcosの和は一つの波へ合成できる
- 2
振幅Rは√a²+b²
- 3
sinの係数はRcosφ、cosの係数はRsinφ
- 4
合成後は位相、値域、最大・最小を読みやすい