イントロ
周期現象を三角関数で捉える
波の四要素を場面から取り出す
潮位、回転、季節変化のような繰り返しは、中心値、振幅、周期、開始位置を決めると三角関数で近似できます。式の係数を現実の単位へ結びます。
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定義
周期現象の三角関数モデル
- 教科書では
- 一定の中心のまわりを同じ周期で上下する量を、正弦または余弦関数で理想化した式です。
- 言いかえると
- 最大と最小の平均が中心値、差の半分が振幅です。周期Tなら角は時間Tで2π進むため係数は2π/Tです。時刻0が最大ならcos、中心を上向きに通るならsinが使いやすくなります。
公式
周期現象の基本形
最大から始まるモデル
Q(t)=D+A cos((2πT)(t-p))
中心D、振幅|A|、周期Tで、時刻pに最大または最小となる波。
- D中心値
- A符号付き振幅
- T時間単位付きの周期
- p基準となる時刻
使うときのコツ
時間Tで角が2π進むよう係数を決める
解くコツ
中心、振幅、周期、時刻0の位置の順に読み、sinかcosかを選びます。
手順
モデルを作る手順
- 1
最大値と最小値から中心値を求める
- 2
最大値と最小値の差の半分を振幅にする
- 3
同じ状態へ戻る時間を周期Tとする
- 4
角の係数を2π/Tにする
- 5
時刻0の位置からsinかcosと位相を選ぶ
要点
式を作った後に場面へ戻す
モデルの値は理想化された予測です。潮位には複数の周期や気象条件が影響し、気温も完全な正弦波ではありません。測定単位と対象期間を確認し、実測値との差があり得ることを述べます。最大・最小の時刻も式から読み、観測データの山と谷におおむね対応するか確かめます。
- 1
周期Tを角の係数へそのまま入れない
- 2
最大・最小から中心と振幅を分ける
- 3
時刻の単位を係数とそろえる
- 4
単一周期モデルの限界を確認する
例
- 場面
- 12時間周期で平均3 m、振幅1 m、時刻0で最大の潮位を表す。
- 順に考えると
- 中心値D=3、振幅A=1、周期T=12です。時刻0で最大なのでcosを使い、角の係数は2π/12=π/6です。したがってQ(t)=3+cos(πt/6)です。
- ここが結論
- 潮位モデルは3+cos(πt/6) m。時刻6では最小2 mになります。
注意
周期12を角の係数12にしない
確認
確認テスト
Q1
周期8秒の正弦波sin(Bt)について、正の係数Bはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
中心は最大・最小の平均、振幅は差の半分
- 2
角の係数は2π/周期
- 3
開始位置でsin、cos、位相を選ぶ
- 4
単位とモデルの適用範囲を場面へ戻して確認する