イントロ
弧度法と扇形
角を半径と弧長の比で測る
ラジアンは円の大きさに依存せず、弧長が半径の何倍かで角を表します。この定義にすると、扇形の弧長と面積を短い式で表せます。
1 / 11 ブロック9%
上下にスクロールするかキーボードの上下キーを使うと、次の学習カードへ進めます。
定義
1ラジアン
- 教科書では
- 半径rの円で、長さrの弧に対する中心角です。
- 言いかえると
- 中心角θ radに対する弧長lはrθなので、θ=l/rです。半円の弧長はπrで半径のπ倍だから180°=π radです。円の半径が変わっても比は同じです。
公式
弧度法と扇形の公式
度とラジアン
180°=π rad, θ rad=180θπ degrees
半周の対応を基準に、度数法と弧度法を変換する。
- θラジアンで表した中心角
- π円周率
扇形
l=rθ, S=(12)r2θ
θをラジアンで表したときの弧長lと面積S。
- r半径
- l弧長
- S扇形の面積
使うときのコツ
θが度なら先にラジアンへ直す
解くコツ
角の単位を確認し、度ならπ/180を掛けてから扇形の公式へ入れます。
手順
扇形を求める手順
- 1
角の単位が度かラジアンか確認する
- 2
度ならπ/180を掛けてラジアンへ直す
- 3
求める量が弧長か面積かを決める
- 4
半径rと角θを対応する公式へ入れる
- 5
単位が長さか面積かを確認する
要点
代表角を対応で覚える
30°=π/6、45°=π/4、60°=π/3、90°=π/2です。分母は半円180°を何等分したかと結び付けると、丸暗記せずに変換できます。度からラジアンへはπ/180を掛け、ラジアンから度へは180/πを掛けます。変換後に90°とπ/2の対応より大きいか小さいかを確かめます。
- 1
360°=2π rad
- 2
90°=π/2 rad
- 3
60°=π/3 rad
- 4
45°=π/4 rad
- 5
30°=π/6 rad
例
- 場面
- 半径6、中心角π/3の扇形の弧長と面積を求める。
- 順に考えると
- 角はすでにラジアンです。弧長はl=6×π/3=2π、面積はS=(1/2)×6²×π/3=6πです。面積では半径を二乗し、最後の単位も平方になります。
- ここが結論
- 弧長は2π、面積は6π。角を度へ戻す必要はありません。
注意
度数をそのままθへ入れない
確認
確認テスト
Q1
120°をラジアンで表したものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
1 radは弧長が半径と等しい中心角
- 2
180°=π radを基準に単位を変換する
- 3
弧長はrθ、面積はr²θ/2
- 4
扇形の公式へ入れる角はラジアン