単位円と三角関数の値

イントロ

終点の座標がsinとcos

半径1の円を使うと、どんな一般角でも三角比を座標として定義できます。終点の横座標がcos、縦座標がsin、縦を横で割った値がtanです。

定義

教科書では: 一般角θの終辺と単位円の交点Pの座標を用いて定めるsin、cos、tanです。
言いかえると: P=(x,y)とするとcosθ=x、sinθ=y、tanθ=y/xです。第2・第3象限ではxが負、第3・第4象限ではyが負になるため、値の符号を図から判断できます。

公式

終点P

P(cos θ, sin θ), tan θ=sin θcos θ

単位円上の終点の横座標がcos、縦座標がsinで、cosが0でないとき比がtan。

使うときのコツ

tanは横座標が0の角では定義されない

解くコツ

基準角の大きさを求め、象限からx座標とy座標の符号を付けます。

手順

要点

第1象限ではsin、cos、tanがすべて正です。第2象限ではsinだけ正、第3象限ではtanだけ正、第4象限ではcosだけ正です。座標の符号から毎回導けます。

例

場面: θ=5π/6のsin、cos、tanを求める。
順に考えると: 5π/6は第2象限で、基準角はπ/6です。π/6の基本値から絶対値はsinが1/2、cosが√3/2、tanが1/√3です。第2象限なのでsinは正、cosとtanは負です。
ここが結論: sinθ=1/2、cosθ=−√3/2、tanθ=−1/√3です。

注意

確認

Q1

第3象限に終辺がある角θについて、三角関数の符号の組合せとして正しいものはどれですか。

まとめ

単位円から三角関数の基本恒等式を理解し、一つの値と象限の条件から他の三角関数の値を求めます。

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