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三角関数の相互関係
単位円の一つの点から三つの値を結ぶ
sin、cos、tanは別々の値ではなく、単位円上の同じ点の座標と比です。一つの値が分かれば、恒等式と象限から残りを求められます。
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定義
三角関数の相互関係
- 教科書では
- 同じ角のsin、cos、tanの間で常に成り立つ基本恒等式です。
- 言いかえると
- 単位円上の点P=(cosθ,sinθ)はx²+y²=1を満たすため、sin²θ+cos²θ=1です。また、tanθは縦座標を横座標で割った比です。図から式の由来を確かめられます。
公式
三つの基本関係
単位円
sin2 θ+cos2 θ=1
単位円上の終点の座標が満たす三平方の関係。
- θ同じ一般角
正接との関係
tan θ=sin θcos θ, 1+tan2 θ=1cos2 θ
cosθ≠0のとき、sinとcosの比からtanを表す。
- tan θ縦座標と横座標の比
- cos θ0でない横座標
使うときのコツ
tanを含む式ではcosθ=0の角を除く
解くコツ
平方で絶対値を求めた後、象限を使って正負を決めます。
手順
一つの値から他を求める手順
- 1
角がどの象限にあるか確認する
- 2
既知の値を平方和の恒等式へ代入する
- 3
未知の値の平方を求める
- 4
平方根を取り、象限から符号を決める
- 5
必要ならsin/cosでtanを求めて検算する
要点
符号は式だけでは決まらない
sin²θやcos²θは象限にかかわらず非負なので、平方和の式から分かるのは絶対値です。角の象限、または値の符号に関する条件があって初めて正負を決められます。
- 1
平方根には正負の候補がある
- 2
第2象限ならcosは負
- 3
第3象限ならsinとcosは負
- 4
条件がなければ±を残す場合がある
例
- 場面
- θは第2象限、sinθ=3/5のときcosθとtanθを求める。
- 順に考えると
- sin²θ+cos²θ=1へ3/5を入れるとcos²θ=16/25です。第2象限ではcosが負なのでcosθ=−4/5です。tanθ=(3/5)/(−4/5)=−3/4です。
- ここが結論
- cosθ=−4/5、tanθ=−3/4。平方根の符号は象限で決めます。
注意
平方根を正だけにしない
確認
確認テスト
Q1
θが第4象限でcosθ=5/13のとき、sinθはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
sin²θ+cos²θ=1は単位円の三平方の関係
- 2
tanθ=sinθ/cosθはcosθ≠0で成り立つ
- 3
平方から分かるのは絶対値
- 4
最後の符号は象限で決める