イントロ
正弦・余弦のグラフ
単位円の座標を横へ展開する
角が回転すると単位円上の縦座標sinと横座標cosが−1から1の間で繰り返し変化します。その変化を角xに沿って並べると波形になります。
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定義
正弦関数・余弦関数
- 教科書では
- 角xを入力し、単位円上の縦座標sin xまたは横座標cos xを出力する周期関数です。
- 言いかえると
- どちらも2π回転すると同じ終辺へ戻るので周期は2π、値域は−1以上1以下です。sinは0から始まり、cosは1から始まるため、同じ形が横にπ/2ずれています。
公式
周期と対称性
正弦
sin(x+2π)=sin x, sin(-x)=-sin x
周期2πで繰り返し、原点について対称な奇関数。
- xラジアンで表す一般角
余弦
cos(x+2π)=cos x, cos(-x)=cos x
周期2πで繰り返し、y軸について対称な偶関数。
- 2π一周分の最小正周期
使うときのコツ
cos x=sin(x+π/2)として横ずれも確認できる
解くコツ
0、π/2、π、3π/2、2πの値を置き、滑らかに結んで周期を繰り返します。
手順
一周期を描く手順
- 1
横軸をラジアン、縦軸を−1から1に取る
- 2
0、π/2、π、3π/2、2πを目盛る
- 3
各角の単位円上の座標を表にする
- 4
主要点を滑らかな曲線で結ぶ
- 5
左右へ2πずつ同じ形を繰り返す
要点
開始値で二本を見分ける
x=0でsin0=0、cos0=1です。そこからxが少し増えるとsinは増加し、cosは1から減少します。グラフを暗記する前に、単位円の開始点(1,0)へ戻します。
- 1
sinは原点(0,0)から始まる
- 2
cosは(0,1)から始まる
- 3
最大・最小は±1
- 4
どちらも2πで同じ値へ戻る
例
- 場面
- 0から2πまでπ/2刻みでsin xとcos xの値を並べる。
- 順に考えると
- sinは0,1,0,−1,0、cosは1,0,−1,0,1です。sinの列を縦座標、cosの列を横座標として単位円上の点と照合すると、二本のグラフがπ/2だけずれていることも分かります。
- ここが結論
- 主要5点を正しく置けば、波形と周期を安定して描けます。
注意
sinとcosの開始値を逆にしない
確認
確認テスト
Q1
y=sin xのグラフの性質として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
sinとcosは単位円の座標を角に沿って並べた関数
- 2
定義域は全実数、値域は[-1,1]
- 3
どちらも周期2π
- 4
sinは0、cosは1から一周期を始める
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