イントロ
正接のグラフ
漸近線の間を右上がりに繰り返す
tan xはsin xをcos xで割るため、cos x=0の角で定義されません。その位置が垂直漸近線となり、間の区間を周期πで繰り返します。
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定義
正接関数のグラフ
- 教科書では
- π/2+kπを除く実数を定義域とし、各漸近線の間で負の無限大から正の無限大へ増加する曲線です。
- 言いかえると
- tan(x+π)=tan xなので周期はπです。x=kπではsin x=0、cos xは0でないためtan x=0です。値は−1から1には限られず、すべての実数を取ります。
公式
正接関数の特徴
周期と定義域
tan(x+π)=tan x, x≠π2+kπ
πごとに同じ値を取り、cos x=0となる角では定義されない。
- k任意の整数
- π2+kπ垂直漸近線の位置
零点
tan(kπ)=0
sinが0でcosが0でない整数倍πでx軸と交わる。
- kπ正接関数の零点
使うときのコツ
一周期では−π/2とπ/2を漸近線、0を零点にする
解くコツ
漸近線、零点、±π/4の値±1を置き、区間内を右上がりに結びます。
手順
一周期を描く手順
- 1
x=−π/2とx=π/2に破線の漸近線を描く
- 2
原点(0,0)を置く
- 3
(−π/4,−1)と(π/4,1)を置く
- 4
漸近線へ近づく右上がりの曲線で結ぶ
- 5
左右へπずつ同じ形を繰り返す
要点
sin・cosとの違い
sinとcosは全実数で定義され値域が[-1,1]、周期2πです。tanは定義されない角をもち、値域は全実数、周期πです。波形の見た目だけで混同しないよう三項目を並べます。
- 1
定義域に穴がある
- 2
値域はすべての実数
- 3
周期はπ
- 4
各区間で増加する
例
- 場面
- −π/2<x<π/2でtan xの主要点と値を確認する。
- 順に考えると
- tan(−π/4)=−1、tan0=0、tan(π/4)=1です。xがπ/2へ左から近づくとcos xは正のまま0へ近づくのでtan xは大きくなります。−π/2側では負へ大きくなります。
- ここが結論
- 一周期では二本の漸近線の間を、原点を通る右上がりの曲線で描きます。
注意
漸近線をグラフの一部にしない
確認
確認テスト
Q1
y=tan xの性質として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
tan xの最小正周期はπ
- 2
π/2+kπで未定義になり垂直漸近線をもつ
- 3
kπでx軸と交わる
- 4
各漸近線の間で右上がり、値域は全実数
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