イントロ
三角方程式・不等式
基準角から範囲内のすべての角へ
同じ三角関数値を取る角は周期ごとに繰り返します。一つの角だけで止めず、象限と指定範囲を使って解をすべて集めます。
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定義
三角方程式・不等式
- 教科書では
- 未知の角を三角関数に含み、値が等しい、または大小関係を満たす角を求める式です。
- 言いかえると
- 単位円では同じx座標・y座標をもつ終点を探し、グラフでは水平線との交点や上下の区間を探します。最後に、問題で指定された角の範囲だけを残します。
公式
基本解と周期
正弦の方程式
sin θ=sin α ⇒ θ=α+2kπ or θ=π-α+2kπ
単位円で同じy座標をもつ二つの終辺を、周期2πごとに表す。
- α一つの基準角
- k任意の整数
正接の方程式
tan θ=tan α ⇒ θ=α+kπ
正接は周期πなので一つの基本解からπごとに繰り返す。
- π正接関数の周期
使うときのコツ
指定範囲がある問題では一般解より範囲内の角を列挙する
解くコツ
基準値、象限、周期、指定範囲、端点の順に確認します。
手順
解を漏らさない手順
- 1
右辺の値に対応する基準角を求める
- 2
三角関数の符号から該当する象限を選ぶ
- 3
一周期内の解または区間をすべて書く
- 4
周期を使って必要な範囲へ広げる
- 5
指定範囲の端点と定義されない角を確認する
要点
方程式と不等式の図を使い分ける
方程式は単位円上の交点という離散的な角、不等式は値が条件を満たす弧やグラフの区間として現れます。不等式では境界角を求めた後、その間の代表角で成立する側を確かめます。
- 1
等式は点、不等式は区間
- 2
等号があれば境界角を含む
- 3
周期ごとに同じ解の形が繰り返す
- 4
tanでは漸近線を除く
例
- 場面
- 0≤θ<2πでsinθ≥1/2を解く。
- 順に考えると
- sinθ=1/2となる境界はθ=π/6と5π/6です。sinは単位円のy座標なので、その間の上側の弧で1/2以上になります。等号を含むため両端も解です。
- ここが結論
- 解はπ/6≤θ≤5π/6。指定範囲内では一つの連続した区間です。
注意
最初に見つけた一つだけを書かない
確認
確認テスト
Q1
0≤θ<2πでcosθ=−1/2を満たす角はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
基準角から該当する象限をすべて探す
- 2
周期を使って指定範囲へ広げる
- 3
不等式は境界の間で成立する側を確認する
- 4
端点、等号、定義されない角を最後に点検する
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