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恒等式と係数比較
すべてのxで成り立つ式
等式には、特定のxだけで成り立つものと、どんなxでも成り立つものがあります。恒等式では係数を比べます。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
恒等式
- 教科書では
- 文字にどんな値を入れても成り立つ等式です。
- 言いかえると
- 方程式は条件を満たす値を探しますが、恒等式はすべての値で成り立ちます。両辺が同じ整式なら、同じ次数の係数が一致します。 恒等式では、すべてのxで成り立つため、同じ次数の係数どうしを比べられます。
要点
解き方の目印
公式暗記より、どの情報を見て次の操作を選ぶかを先に決めます。両辺を展開して整理することから始め、最後に条件と結果を確かめると、解答の根拠が残ります。答えだけを書かず、どの条件を使ったかを一文で残すと、同じ形の別問題でも手順を再現できます。迷ったときは、例題と同じ順に小さく書き出し、最後の一行で答えを確かめます。
- 1
すべての x で成り立つかを見る
- 2
両辺を整理して次数ごとに並べる
- 3
同じ次数の係数を比べる
- 4
1つの値で合うだけでは不十分
手順
進め方
- 1
両辺を展開して整理する
- 2
次数の高い順に並べる
- 3
同じ次数の係数を比べる
- 4
未知の係数を決める
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- ax+b=3x+2 が恒等式になるように a,b を求める。
- 順に考えると
- すべての x で成り立つには、x の係数と定数項がそれぞれ一致します。よって a=3、b=2 です。 両辺を同じ形に整理し、同じ次数の係数を比べます。
- ここが結論
- 特定の x だけでなく、すべての x で成り立つ条件を見ています。 求めた係数を戻して恒等式になるか確認します。次数ごとに縦に並べると、対応を見落としにくくなります。
比較
| 種類 | 意味 | 使うこと |
|---|---|---|
| 恒等式 | すべてのxで成立 | 係数を比べる |
| 方程式 | 特定のxを探す | 解を求める |
| 数値確認 | 一部だけ確認 | 証明ではない |
種類恒等式
- 意味
- すべてのxで成立
- 使うこと
- 係数を比べる
種類方程式
- 意味
- 特定のxを探す
- 使うこと
- 解を求める
種類数値確認
- 意味
- 一部だけ確認
- 使うこと
- 証明ではない
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
1つの値で合っても恒等式とは限らない
確認
確認テスト
Q1
ax+4=2x+b が恒等式なら、正しい組はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
恒等式はすべての値で成り立つ
- 2
方程式とは目的が違う
- 3
係数比較で未知数を決める
- 4
一部の代入だけで判断しない
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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